Chapter 1: UNITS AND MEASUREMENT, Physics, HS 1st year (Text book, Bengali medium)

 

১.১ ভূমিকা

যে কোনও ভৌত রাশি পরিমাপ করার জন্য একটি নির্দিষ্ট মৌলিক, ইচ্ছাকৃতভাবে নির্বাচিত এবং আন্তর্জাতিকভাবে স্বীকৃত মান বা এককের সঙ্গে তুলনা করা হয়। কোনও ভৌত রাশির পরিমাপের ফলাফল একটি সংখ্যা (বা সাংখ্যিক মান) এবং একটি এককের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যদিও ভৌত রাশির সংখ্যা অনেক বলে মনে হয়, তবুও আমরা সীমিত সংখ্যক এককের প্রয়োজন হয় কারণ এগুলো একে অপরের সাথে সম্পর্কযুক্ত। মৌলিক বা ভিত্তি রাশিগুলির একককে মৌলিক বা ভিত্তি একক বলা হয়। অন্যান্য সমস্ত ভৌত রাশির একককে ভিত্তি এককের সমন্বয়ে প্রকাশ করা যায়। এইভাবে প্রাপ্ত এককগুলিকে উৎপন্ন একক বলা হয়। মৌলিক একক এবং উৎপন্ন এককগুলির সম্পূর্ণ সেটকে একক পদ্ধতি বলা হয়।

১.২ আন্তর্জাতিক একক পদ্ধতি

আগে বিভিন্ন দেশের বিজ্ঞানীরা পরিমাপের জন্য বিভিন্ন একক পদ্ধতি ব্যবহার করতেন। এই ধরনের তিনটি প্রধান পদ্ধতি হল: সিজিএস (CGS), এফপিএস (FPS) বা ব্রিটিশ পদ্ধতি এবং এমকেএস (MKS) পদ্ধতি।
এই পদ্ধতিগুলিতে দৈর্ঘ্য, ভর এবং সময়ের মৌলিক এককগুলি ছিল নিম্নরূপঃ

• সিজিএস পদ্ধতিতে: সেন্টিমিটার, গ্রাম এবং সেকেন্ড।
• এফপিএস পদ্ধতিতে: ফুট, পাউন্ড এবং সেকেন্ড।
• এমকেএস পদ্ধতিতে: মিটার, কিলোগ্রাম এবং সেকেন্ড।

বর্তমানে, পরিমাপের জন্য আন্তর্জাতিকভাবে স্বীকৃত পদ্ধতি হল Système Internationale d’ Unites (ফরাসি ভাষায় International System of Units), সংক্ষেপে SI। এককের এই পদ্ধতি ১৯৭১ সালে Bureau International des Poids et Measures (BIPM) দ্বারা তৈরি করা হয় এবং ২০১৮ সালের নভেম্বরে General Conference on Weights and Measures দ্বারা এটি পুনর্বিবেচনা করা হয়। এখন এটি বৈজ্ঞানিক, প্রযুক্তিগত, শিল্প এবং বাণিজ্যিক কাজে আন্তর্জাতিকভাবে ব্যবহৃত হয়। যেহেতু SI পদ্ধতিতে দশমিক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, তাই এর মধ্যে রূপান্তর সহজ এবং সুবিধাজনক। এই বইতে আমরা SI একক ব্যবহার করব।

SI পদ্ধতিতে, সাতটি মৌলিক একক রয়েছে যা তালিকা ১.১ এ দেওয়া হয়েছে। এই সাতটি মৌলিক এককের পাশাপাশি আরও দুটি একক রয়েছে যা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

• (ক) সমতল কোণ $d\theta$ যা ধনুকের দৈর্ঘ্য $ds$ এবং ব্যাসার্ধ $r$-এর অনুপাত হিসেবে পরিমাপ করা হয়।
• (খ) ঘন কোণ $d\Omega$ যা গোলাকার পৃষ্ঠের $dA$ এলাকা এবং ব্যাসার্ধের বর্গ $r^2$-এর অনুপাত হিসেবে পরিমাপ করা হয়।

চিত্র ১.১ (ক) এবং (খ)-তে এটি দেখানো হয়েছে।
সমতল কোণের একক হল রেডিয়ান (প্রতীক: rad) এবং ঘন কোণের একক হল স্টেরেডিয়ান (প্রতীক: sr)। এই দুই রাশিই মাত্রাহীন রাশি।

 

ভিত্তি পরিমাণ	নাম	প্রতীক	সংজ্ঞা
দৈর্ঘ্য	মিটার	m	মিটার, প্রতীক m, দৈর্ঘ্যের এসআই একক। এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ভ্যাকুয়ামে আলোর গতি c-এর স্থির সংখ্যাগত মান 299792458 নেওয়া দ্বারা, যখন এটি m·s⁻¹ এককে প্রকাশ করা হয়, যেখানে সেকেন্ড সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে সিজিয়াম ফ্রিকোয়েন্সি Δνₐ অনুযায়ী।
ভর	কিলোগ্রাম	kg	কিলোগ্রাম, প্রতীক kg, ভরের এসআই একক। এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক h-এর স্থির সংখ্যাগত মান 6.62607015 × 10⁻³⁴ নেওয়া দ্বারা, যা J·s এককে প্রকাশ করা হয়, যা সমান kg·m²·s⁻¹ এর, যেখানে মিটার এবং সেকেন্ড c এবং Δνₐ এর উপর নির্ভর করে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।
সময়	সেকেন্ড	s	সেকেন্ড, প্রতীক s, সময়ের এসআই একক। এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে সিজিয়াম ফ্রিকোয়েন্সি Δνₐ, সিজিয়াম-133 পরমাণুর অপ্রভাবিত গ্রাউন্ড-স্টেট হাইপারফাইন ট্রানজিশন ফ্রিকোয়েন্সি, এর স্থির সংখ্যাগত মান 9192631770 নেওয়া দ্বারা, যা Hz এককে প্রকাশিত হয় এবং s⁻¹ এর সমান।
বৈদ্যুতিক প্রবাহ	অ্যাম্পিয়ার	A	অ্যাম্পিয়ার, প্রতীক A, বৈদ্যুতিক প্রবাহের এসআই একক। এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে প্রাথমিক চার্জ e-এর স্থির সংখ্যাগত মান 1.602176634 × 10⁻¹⁹ নেওয়া দ্বারা, যা C এককে প্রকাশিত হয় এবং A·s এর সমান, যেখানে সেকেন্ড Δνₐ অনুযায়ী সংজ্ঞায়িত।
উষ্ণগত তাপমাত্রা	কেলভিন	K	কেলভিন, প্রতীক K, উষ্ণগত তাপমাত্রার এসআই একক। এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে বোল্টজম্যান ধ্রুবক k-এর স্থির সংখ্যাগত মান 1.380649 × 10⁻²³ নেওয়া দ্বারা, যা J·K⁻¹ এককে প্রকাশিত হয় এবং সমান kg·m²·s⁻²·K⁻¹ এর, যেখানে কিলোগ্রাম, মিটার এবং সেকেন্ড সংজ্ঞায়িত।
পদার্থের পরিমাণ	মোল	mol	মোল, প্রতীক mol, পদার্থের পরিমাণের এসআই একক। এক মোলে ঠিক 6.02214076 × 10²³ মৌলিক কণিকা থাকে। এই সংখ্যা স্থির সংখ্যাগত মান যা অ্যাভোগাড্রো ধ্রুবক Nₐ নামে পরিচিত এবং এটি mol⁻¹ এককে প্রকাশিত হয়।
দীপ্তির তীব্রতা	ক্যান্ডেলা	cd	ক্যান্ডেলা, প্রতীক cd, একটি নির্দিষ্ট দিকের দীপ্তির তীব্রতার এসআই একক। এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে 540 × 10¹² Hz ফ্রিকোয়েন্সির মনোক্রোম্যাটিক বিকিরণের দীপ্তি দক্ষতার স্থির সংখ্যাগত মান Kcd 683 নেওয়া দ্বারা, যা lm·W⁻¹ বা cd·sr·W⁻¹ এককে প্রকাশিত।

 

টেবিল ১.২: সাধারণ ব্যবহারের জন্য সংরক্ষিত কিছু একক (যদিও SI এর বাইরে)

নাম	প্রতীক	SI এককে মান
মিনিট	min	৬০ সেকেন্ড
ঘণ্টা	h	৬০ মিনিট = ৩৬০০ সেকেন্ড
দিন	d	২৪ ঘণ্টা = ৮৬৪০০ সেকেন্ড
বছর	y	৩৬৫.২৫ দিন = ৩.১৫৬ × ১০⁷ সেকেন্ড
ডিগ্রি	°	১° = (π/১৮০) রেডিয়ান
লিটার	L	১ dm³ = ১০⁻³ m³
টন	t	১০³ কেজি
ক্যারেট	c	২০০ মিলিগ্রাম
বার	bar	০.১ MPa = ১০⁵ Pa
কিউরি	Ci	৩.৭ × ১০¹⁰ s⁻¹
রöntgen (রöntgen)	R	২.৫৮ × ১০⁻⁴ C/kg
কুইন্টাল	q	১০০ কেজি
বার্ন	b	১০⁻²৮ m²
আরে	a	১ dam² = ১০² m²
হেক্টর	ha	১ hm² = ১০⁴ m²
স্ট্যান্ডার্ড বায়ুমণ্ডল চাপ	atm	১০১৩২৫ Pa = ১.০১৩ × ১০⁵ Pa

ডেসিমাল পয়েন্টের অবস্থান সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সংখ্যা নির্ধারণে কোনো প্রভাব ফেলে না। উদাহরণে নিম্নলিখিত নিয়মগুলি বর্ণনা করা হয়েছে:

• সব অ-শূন্য অঙ্ক সিগনিফিক্যান্ট।
• দুটি অ-শূন্য অঙ্কের মাঝে থাকা সব শূন্য সিগনিফিক্যান্ট, ডেসিমাল পয়েন্ট কোথায় আছে তা বিবেচ্য নয়।
• যদি সংখ্যাটি ১-এর চেয়ে কম হয়, তবে ডেসিমাল পয়েন্টের ডানদিকে কিন্তু প্রথম অ-শূন্য অঙ্কের বামদিকে থাকা শূন্যগুলি সিগনিফিক্যান্ট নয়।
  [উদাহরণস্বরূপ, 0.002308-এ আন্ডারলাইনকৃত শূন্যগুলি সিগনিফিক্যান্ট নয়।]
• ডেসিমাল পয়েন্ট ছাড়া থাকা সংখ্যায় টার্মিনাল বা ট্রেইলিং শূন্যগুলি সিগনিফিক্যান্ট নয়।
  [যেমন, 123 মিটার = 12300 সেন্টিমিটার = 123000 মিলিমিটার; এখানে তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার রয়েছে।] তবে, এর পরবর্তী পর্যবেক্ষণটি লক্ষ্য করুন।
• ডেসিমাল পয়েন্ট সহ থাকা সংখ্যায় ট্রেইলিং শূন্যগুলি সিগনিফিক্যান্ট।
  [যেমন, 3.500 বা 0.06900 প্রতিটি সংখ্যায় চারটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার রয়েছে।]

(২) ট্রেইলিং শূন্য সম্পর্কে কিছু বিভ্রান্তি থাকতে পারে। ধরা যাক, একটি দৈর্ঘ্য 4.700 মিটার রিপোর্ট করা হয়েছে। এখানে শূন্যগুলি মাপের নির্ভুলতা প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হয়েছে এবং তাই সিগনিফিক্যান্ট। [যদি তা না হতো, তবে শূন্যগুলি লেখা অপ্রয়োজনীয় হতো এবং রিপোর্ট করা দৈর্ঘ্য 4.7 মিটার থাকত।] এখন যদি আমরা ইউনিট পরিবর্তন করি, তবে
4.700 মি = 470.0 সেমি = 4700 মিমি = 0.004700 কিমি
শেষ সংখ্যাটি ডেসিমাল ছাড়া থাকা ট্রেইলিং শূন্য ধারণ করে। আমরা পর্যবেক্ষণ (১) থেকে ভুলভাবে সিদ্ধান্তে পৌঁছতে পারি যে সংখ্যাটিতে দুটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার রয়েছে, যদিও প্রকৃতপক্ষে এতে চারটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার রয়েছে এবং ইউনিট পরিবর্তনে সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সংখ্যা পরিবর্তন হয় না।

(৩) সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সংখ্যা নির্ধারণে এ ধরনের অস্পষ্টতা দূর করার জন্য, সেরা উপায় হলো প্রতিটি পরিমাপকে বিজ্ঞানসম্মত উপায়ে (পাওয়ার অফ ১০) প্রকাশ করা। এই পদ্ধতিতে, প্রতিটি সংখ্যা প্রকাশ করা হয় a × 10ᵇ আকারে, যেখানে a ১ এবং ১০-এর মধ্যে একটি সংখ্যা এবং b কোনো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সূচক।

পরিমাণের আনুমানিক ধারণা পেতে, a-কে ১ (যদি a ≤ ৫) বা ১০ (যদি ৫ < a ≤ ১০) হিসেবে রাউন্ড অফ করা যায়। এরপর সংখ্যাটি আনুমানিকভাবে 10ᵇ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে ১০-এর সূচকটি পদার্থের পরিমাণের অর্ডার অফ ম্যাগনিটিউড। উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ (1.28×10⁷ মি) হলো 10⁷ মি, অর্ডার অফ ম্যাগনিটিউড ৭।

এখন উল্লেখিত বিভ্রান্তি দূর হয়ে যায়:
4.700 মি = 4.700 × 10² সেমি = 4.700 × 10³ মিমি = 4.700 × 10⁻³ কিমি
বেস নম্বরে থাকা সব শূন্য বিজ্ঞানসম্মত পদ্ধতিতে সবসময় সিগনিফিক্যান্ট।

(৪) বিজ্ঞানসম্মত পদ্ধতি পরিমাপের জন্য আদর্শ। কিন্তু যদি এটি ব্যবহার না করা হয়, তবে নিম্নলিখিত নিয়মগুলি অনুসরণ করা হয়:

• ১-এর চেয়ে বড় কোনো সংখ্যায়, যেখানে ডেসিমাল পয়েন্ট নেই, ট্রেইলিং শূন্যগুলি সিগনিফিক্যান্ট নয়।
• ডেসিমাল সহ থাকা সংখ্যায় ট্রেইলিং শূন্যগুলি সিগনিফিক্যান্ট।

(৫) ডেসিমালের বামে কোনো সংখ্যা যদি ১-এর কম হয় (যেমন 0.1250), তবে বামে থাকা শূন্যটি কখনোই সিগনিফিক্যান্ট নয়। তবে, সংখ্যার শেষে থাকা শূন্যগুলি পরিমাপে সিগনিফিক্যান্ট।

(৬) যেসব গুণ বা ভাগের মানগুলি রাউন্ড করা নয় বা মাপা মান নয়, সেগুলি সঠিক সংখ্যা এবং অসীম সংখ্যক সিগনিফিক্যান্ট ডিজিট রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, $C = 2\pi r$-এ ২ একটি সঠিক সংখ্যা এবং প্রয়োজন অনুসারে 2.0, 2.00, বা 2.0000 হিসেবে লেখা যেতে পারে।

১.৩.১ সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সাথে গাণিতিক অপারেশনের নিয়ম

যে কোনো পরিমাপের মানের সাথে গাণিতিক অপারেশন করা হলে (অর্থাৎ, সীমিত সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের মানের সাথে), ফলাফলটি অবশ্যই মূল পরিমাপের অনিশ্চয়তা প্রতিফলিত করবে। এটি কখনোই মূল পরিমাপের চেয়ে বেশি নির্ভুল হতে পারে না, যার উপর ভিত্তি করে ফলাফলটি নির্ধারিত। সাধারণত, চূড়ান্ত ফলাফলে মূল ডেটার চেয়ে বেশি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার থাকবে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বস্তুর ভর পরিমাপ করা হয় ৪.২৩৭ গ্রাম (চারটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার) এবং এর আয়তন পরিমাপ করা হয় ২.৫১ সেমি³, তবে এর ঘনত্ব গাণিতিকভাবে বিভাজনের মাধ্যমে হবে ১.৬৮৮০৪৭৮০৮৭৬ গ্রাম/সেমি³, যা ১১টি দশমিক স্থান পর্যন্ত। এটি স্পষ্টভাবে হাস্যকর এবং অপ্রাসঙ্গিক হবে যদি ঘনত্বের হিসাব করা মান এত সঠিকভাবে রেকর্ড করা হয়, যখন পরিমাপের নির্ভুলতা অনেক কম। সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সাথে গাণিতিক অপারেশনের জন্য নিম্নলিখিত নিয়মগুলি নিশ্চিত করে যে গাণিতিক গণনা শেষে ফলাফলটি সঠিক পরিমাপের নির্ভুলতার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ থাকবে:

(১) গুণন বা ভাগের ক্ষেত্রে, চূড়ান্ত ফলাফলে যতটা সম্ভব সিগনিফিক্যান্ট ফিগার থাকবে, ততটা মূল সংখ্যার সাথে, যার সিগনিফিক্যান্ট ফিগার সর্বনিম্ন।
তাহলে, উপরের উদাহরণে ঘনত্বটি তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার সহ রিপোর্ট করা উচিত।
ঘনত্ব
৪.২৩৭ গ্রাম
২.৫১ সেমি³
১.৬৯ গ্রাম/সেমি³
এভাবে, যদি আলোর গতি ৩.০০ × ১০⁸ মিটার/সেকেন্ড (তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার) এবং এক বছর (১ বছর = ৩৬৫.২৫ দিন) ৩.১৫৫৭ × ১০⁷ সেকেন্ড (পাঁচটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার) হয়, তবে আলোকবর্ষ হবে ৯.৪৭ × ১০¹⁵ মিটার (তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার)।

(২) যোগফল বা বিয়োগফলের ক্ষেত্রে, চূড়ান্ত ফলাফলটি সেগুলোর মধ্যে সবচেয়ে কম দশমিক স্থান বিশিষ্ট সংখ্যার মতো একই সংখ্যক দশমিক স্থান ধারণ করবে।
যেমন, ৪৩৬.৩২ গ্রাম, ২২৭.২ গ্রাম এবং ০.৩০১ গ্রাম গাণিতিক যোগফলে ৬৬৩.৮২১ গ্রাম। তবে, সবচেয়ে কম নির্ভুল পরিমাপ (২২৭.২ গ্রাম) শুধুমাত্র এক দশমিক স্থান পর্যন্ত সঠিক। সুতরাং, চূড়ান্ত ফলাফলটি ৬৬৩.৮ গ্রাম হিসাবে রাউন্ড অফ করা উচিত।
একইভাবে, দৈর্ঘ্যের পার্থক্য প্রকাশ করা যেতে পারে:
০.৩০৭ মি – ০.৩০৪ মি = ০.০০৩ মি = ৩ × ১০⁻³ মি।
দয়া করে লক্ষ্য করুন যে, যোগফল বা বিয়োগফলে সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের নিয়ম (১) অনুসরণ করে ৬৬৪ গ্রাম বা ৩.০০ × ১০⁻³ মি লেখার উচিত নয়। এটি মাপের নির্ভুলতা সঠিকভাবে উপস্থাপন করবে না। যোগফল এবং বিয়োগফলের জন্য, নিয়মটি দশমিক স্থান অনুযায়ী।

১.৩.২ অনিশ্চিত ডিজিটের রাউন্ডিং

প্রায়োগিক সংখ্যা দিয়ে গণনা করলে, যা একাধিক অনিশ্চিত ডিজিট ধারণ করে, সেই ফলাফলটি রাউন্ড করা উচিত। সঠিক সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে সংখ্যাগুলি রাউন্ড করার নিয়ম অধিকাংশ ক্ষেত্রে স্পষ্ট।
যেমন, ২.৭৪৬ সংখ্যাটি তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে রাউন্ড করলে হবে ২.৭৫০ এবং ১.৭৪৩ হলে হবে ১.৭৪। সাধারণভাবে, যদি অবাঞ্ছিত ডিজিট (এক্ষেত্রে আন্ডারলাইন করা ডিজিট) ৫-এর বেশি হয়, তবে পূর্ববর্তী ডিজিট ১ বাড়ানো হয়, এবং যদি এটি ৫-এর কম হয় তবে পূর্ববর্তী ডিজিট অপরিবর্তিত থাকে। তবে, যদি সংখ্যা ২.৭৪৫ হয় যেখানে অবাঞ্ছিত ডিজিট ৫, তাহলে রাউন্ডিং কনভেনশন অনুসারে, যদি পূর্ববর্তী ডিজিট জোড় হয়, তাহলে অবাঞ্ছিত ডিজিটটি সরিয়ে ফেলা হয়, এবং যদি এটি বিজোড় হয়, তবে পূর্ববর্তী ডিজিট ১ বাড়ানো হয়। তাহলে, ২.৭৪৫ সংখ্যাটি তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে রাউন্ড করলে হবে ২.৭৪। অন্যদিকে, ২.৭৩৫ সংখ্যাটি তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে রাউন্ড করলে হবে ২.৭৪ যেহেতু পূর্ববর্তী ডিজিট বিজোড়।

যেকোনো জটিল বা বহু-পর্যায়ের গণনায়, আপনাকে মধ্যবর্তী ধাপে একাধিক সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের থেকে একটি ডিজিট বেশি রাখতে হবে এবং গণনার শেষে সঠিক সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে রাউন্ড করতে হবে। তেমনি, যদি কোনো সংখ্যা অনেক সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে পরিচিত হয়, যেমন ১.৯৯৭৯২৪৫৮ × ১০⁸ মি/সেকেন্ড (খালি স্থানগুলো পূর্ণ সংখ্যা), এটি প্রায় ৩ × ১০⁸ মি/সেকেন্ড হিসাবে রাউন্ড করা হয়, যা গণনায় প্রায়ই ব্যবহৃত হয়।
অবশেষে, মনে রাখবেন যে সূত্রে থাকা সঠিক সংখ্যাগুলি যেমন ২π, যেমন T = 2π√(L/g), এর সিগনিফিক্যান্ট ফিগার অসীম। π এর মান ৩.১৪১৫৯২৬... জানা যায় অনেক সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে। বিশেষ ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের প্রয়োজন হলে, π এর মান ৩.১৪২ বা ৩.১৪ হিসেবে নেওয়া যেতে পারে।

উদাহরণ ১.১ একটি ঘনকের প্রতিটি পাশের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করা হয়েছে ৭.২০৩ মিটার। ঘনকের মোট পৃষ্ঠের এলাকা এবং আয়তন সঠিক সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সাথে প্রকাশ করুন।
উত্তর পরিমাপের দৈর্ঘ্যের সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সংখ্যা ৪। তাই গণনা করা এলাকা এবং আয়তনকে ৪টি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার পর্যন্ত রাউন্ড করা উচিত।
ঘনকের পৃষ্ঠের এলাকা = ৬(৭.২০৩)² মিটার²
= ৩১১.২৯৯২৫৪ মিটার²
= ৩১১.৩ মিটার²
ঘনকের আয়তন = (৭.২০৩)³ মিটার³
= ৩৭৩.৭১৪৭৫৪ মিটার³
= ৩৭৩.৭ মিটার³

উদাহরণ ১.২ ৫.৭৪ গ্রাম একটি পদার্থ ১.২ সেমি³ পরিমাণ স্থান দখল করে। সিগনিফিক্যান্ট ফিগারগুলো মনোযোগে রেখে এর ঘনত্ব প্রকাশ করুন।
উত্তর পরিমাপ করা ভরের সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সংখ্যা ৩, যেখানে পরিমাপ করা আয়তনের সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সংখ্যা ২। সুতরাং, ঘনত্ব শুধুমাত্র ২টি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার পর্যন্ত প্রকাশ করা উচিত।
ঘনত্ব =
৫.৭৪ ÷ ১.২ গ্রাম/সেমি³
= ৪.৮ গ্রাম/সেমি³

১.৩.৩ গাণিতিক গণনায় ফলাফলের অনিশ্চয়তা নির্ধারণের নিয়ম
গাণিতিক অপারেশনে কোনো সংখ্যা/পরিমাপের অনিশ্চয়তা বা ত্রুটি নির্ধারণের নিয়মগুলো নিম্নলিখিত উদাহরণগুলো থেকে বোঝা যেতে পারে।

(১) যদি একটি পাতলা আয়তক্ষেত্রাকার শীটের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ মিটার স্কেল ব্যবহার করে পরিমাপ করা হয় যথাক্রমে ১৬.২ সেমি এবং ১০.১ সেমি, তবে প্রতিটি পরিমাপে তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগার থাকবে। এটি মানে যে দৈর্ঘ্যকে লিখা যেতে পারে
ল = ১৬.২ ± ০.১ সেমি
= ১৬.২ সেমি ± ০.৬%
এছাড়াও, প্রস্থকে লিখা যেতে পারে
ব = ১০.১ ± ০.১ সেমি
= ১০.১ সেমি ± ১%
তাহলে, দুইটি (বা আরো) পরীক্ষামূলক মানের গুণফল সম্পর্কিত ত্রুটি সমন্বয়ের নিয়ম অনুসারে
ল × ব = ১৬৩.৬২ সেমি² + ১.৬%
= ১৬৩.৬২ + ২.৬ সেমি²
এটি আমাদের চূড়ান্ত ফলাফল হিসেবে উল্লেখ করতে দেয়
ল × ব = ১৬৪ + ৩ সেমি²
এখানে ৩ সেমি² হলো আয়তক্ষেত্রাকার শীটের এলাকা পরিমাপের অনিশ্চয়তা বা ত্রুটি।

(২) যদি কোনো পরীক্ষামূলক ডেটা n সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে নির্দিষ্ট থাকে, তবে এই ডেটা থেকে প্রাপ্ত ফলাফলও n সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে সঠিক হবে। তবে, যদি ডেটা বিয়োগ করা হয়, তবে সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সংখ্যা কমে যেতে পারে।
যেমন, ১২.৯ গ্রাম – ৭.০৬ গ্রাম, উভয়ই তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে নির্দিষ্ট, এটি সঠিকভাবে ৫.৮৪ গ্রাম হিসেব করা যাবে না, তবে ৫.৮ গ্রাম হিসেব করা যেতে পারে, কারণ যোগফল বা বিয়োগফলে ত্রুটিগুলি আলাদা ভাবে মিলিত হয় (যতগুলি দশমিক স্থান থাকে, সেগুলি সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সংখ্যা অনুসারে নয়)।

(৩) একটি মানের আপেক্ষিক ত্রুটি তার সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সংখ্যার উপর নির্ভর করে, তবে এটি সেই মানটির উপরও নির্ভর করে।
যেমন, ১.০২ গ্রাম ভরের পরিমাপের ত্রুটি ± ০.০১ গ্রাম, এবং ৯.৮৯ গ্রাম অন্য পরিমাপের ত্রুটি ± ০.০১ গ্রাম।
১.০২ গ্রাম এর আপেক্ষিক ত্রুটি হবে
= (± ০.০১/১.০২) × ১০০%
= ± ১%
এছাড়াও, ৯.৮৯ গ্রাম এর আপেক্ষিক ত্রুটি হবে
= (± ০.০১/৯.৮৯) × ১০০%
= ± ০.১%

অবশেষে, মনে রাখবেন যে, একটি বহু-পর্যায়ের গণনায়, মধ্যবর্তী ফলাফলগুলি একাধিক সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের থেকে একাধিক ডিজিট বেশি রাখতে হবে, সবচেয়ে কম সঠিক পরিমাপের সংখ্যার চেয়ে। এই ফলাফলগুলি ডেটা দ্বারা বৈধ হওয়া উচিত এবং তারপর গাণিতিক অপারেশনগুলি করা যেতে পারে; অন্যথায় রাউন্ডিং ত্রুটিগুলি জমা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ৯.৫৮ এর বিপরীত রূপ গণনা করা হলে (রাউন্ডিং পর) তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগারের সাথে এটি ০.১০৪ হবে, কিন্তু ০.১০৪ এর বিপরীত রূপ তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে গণনা করলে এটি ৯.৬২ হবে। তবে, যদি আমরা ১/৯.৫৮ = ০.১০৪৪ লিখে তারপর বিপরীত রূপ তিনটি সিগনিফিক্যান্ট ফিগারে নিই, তবে আমরা আসল মান ৯.৫৮ ফিরে পাব।
এই উদাহরণটি জাস্টিফাই করে যে, জটিল বহু-পর্যায়ের গণনায় মধ্যবর্তী ধাপে একটি অতিরিক্ত ডিজিট রাখার ধারণাটি রাউন্ডিং ত্রুটির ঝুঁকি কমাতে সাহায্য করে।

১.৪ শারীরিক পরিমাণের মাত্রা
কোনো শারীরিক পরিমাণের প্রকৃতি তার মাত্রা দ্বারা বর্ণিত হয়। সমস্ত শারীরিক পরিমাণ, যা উৎপন্ন একক দ্বারা প্রকাশ করা যায়, তা সাতটি মৌলিক বা ভিত্তি পরিমাণের সমন্বয়ে প্রকাশ করা যেতে পারে। এগুলোকে আমরা শারীরিক বিশ্বের সাতটি মাত্রা বলব, যেগুলির চিহ্নিতকরণ করা হয় বর্গাকৃতি বন্ধনী [ ] দিয়ে। তাই, দৈর্ঘ্য [L], ভর [M], সময় [T], বৈদ্যুতিক কারেন্ট [A], তাপমাত্রা [K], আলোক প্রবাহ [cd], এবং পদার্থের পরিমাণ [mol]।
একটি শারীরিক পরিমাণের মাত্রাগুলি হচ্ছে শক্তি (বা এক্সপোনেন্ট), যার মাধ্যমে ভিত্তি পরিমাণগুলোকে বাড়ানো হয় সেই পরিমাণটি প্রকাশ করতে। লক্ষ্য করুন যে, যদি আমরা [ ] বন্ধনী ব্যবহার করি, তবে আমরা ‘পরিমাণটির মাত্রা’ নিয়ে কথা বলছি।
যান্ত্রিক অবস্থায়, সমস্ত শারীরিক পরিমাণ [L], [M], এবং [T] মাত্রায় লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বস্তু দ্বারা দখল করা আয়তন দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতার গুণফল হিসেবে প্রকাশিত হয়, বা তিনটি দৈর্ঘ্য। সুতরাং, আয়তনের মাত্রাগুলি হবে [L] × [L] × [L] = [L]³ = [L³]।
যেহেতু আয়তন ভর এবং সময়ের ওপর নির্ভরশীল নয়, তাই এটি বলা হয় যে আয়তনটির ভরের [M°], সময়ের [T°] এবং দৈর্ঘ্যের তিনটি মাত্রা রয়েছে।
এভাবে, শক্তি, যেহেতু এটি ভর এবং ত্বরনের গুণফল, লেখা যেতে পারে
শক্তি = ভর × ত্বরণ
= ভর × (দৈর্ঘ্য)/(সময়)²
শক্তির মাত্রাগুলি হবে [M] [L]/[T]² = [M L T⁻²]। অতএব, শক্তির এক মাত্রা ভর, এক মাত্রা দৈর্ঘ্য এবং -২ মাত্রা সময়ে থাকে। অন্যান্য ভিত্তি পরিমাণের মাত্রাগুলি শূন্য।
এ ধরনের উপস্থাপনায়, মাত্রা মানের সাথে সম্পর্কিত হয় না, এটি কেবল শারীরিক পরিমাণের প্রকারের গুণমানের সাথে সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ, গতির পরিবর্তন, প্রাথমিক গতি, গড় গতি, চূড়ান্ত গতি এবং গতির ক্ষেত্রে, এই সমস্ত পরিমাণে দৈর্ঘ্য/সময় হিসাবে প্রকাশ করা যায়, এবং তাই তাদের মাত্রাগুলি [L]/[T] বা [L T⁻¹] হবে।

১.৫ মাত্রিক সূত্র এবং মাত্রিক সমীকরণ
যে সূত্ৰটি দেখায় কিভাবে এবং কোন ভিত্তি পরিমাণ শারীরিক পরিমাণের মাত্রাগুলি প্রকাশ করে, তাকে সেই শারীরিক পরিমাণের মাত্রিক সূত্র বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, আয়তনের মাত্রিক সূত্র হবে [M° L³ T°], এবং গতির বা গতি হবে [M° L T⁻¹]। অনুরূপভাবে, ত্বরণের মাত্রিক সূত্র [M° L T⁻²] এবং ভরের ঘনত্বের মাত্রিক সূত্র হবে [M L⁻³ T°]।
যে সমীকরণটি শারীরিক পরিমাণকে তার মাত্রিক সূত্রের সাথে সমীকরণ করে তা হল তার মাত্রিক সমীকরণ। সুতরাং, মাত্রিক সমীকরণগুলি হল সেই সমীকরণগুলো, যা ভিত্তি পরিমাণের terms এ শারীরিক পরিমাণের মাত্রাগুলি প্রকাশ করে। উদাহরণস্বরূপ, আয়তন [V], গতি [v], শক্তি [F] এবং ভরের ঘনত্ব [ρ] এর মাত্রিক সমীকরণগুলি হতে পারে
[V] = [M° L³ T°]
[v] = [M° L T⁻¹]
[F] = [M L T⁻²]
[ρ] = [M L⁻³ T°]

১.৬ মাত্রিক বিশ্লেষণ এবং এর প্রয়োগ
যে শারীরিক পরিমাণগুলির মাত্রাগুলি সমান, শুধুমাত্র সেই পরিমাণগুলির যোগফল বা বিয়োগ করা যেতে পারে, এই বিষয়টি সঠিকভাবে বুঝতে মাত্রিক বিশ্লেষণের ধারণাগুলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। মাত্রিক বিশ্লেষণ আমাদের বিভিন্ন শারীরিক পরিমাণের মধ্যে সম্পর্ক deduce করতে সাহায্য করে এবং গাণিতিক সূত্রের সঠিকতা এবং মাত্রিক সামঞ্জস্য বা হোমোজিনিটি পরীক্ষা করতে সাহায্য করে। যখন দুই বা আরও শারীরিক পরিমাণের পরিমাণ গুণিত হয়, তখন তাদের এককগুলোকে সাধারণ গাণিতিক চিহ্নগুলির মতো ব্যবহার করা উচিত। আমরা অভিন্ন এককগুলোকে ন্যূনতম এবং গুণন করে বাতিল করতে পারি। একইভাবে, যেসব শারীরিক পরিমাণ চিহ্নিত হয়, তাদের সমস্ত দিক থেকে গাণিতিক সমীকরণের একে অপরের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হতে হবে।

১.৬.১ সমীকরণের মাত্রিক সামঞ্জস্য পরীক্ষা
যথাযথ মাত্রার শারীরিক পরিমাণগুলি একে অপরের সাথে যোগ বা বিয়োগ করা যেতে পারে শুধুমাত্র যদি তাদের মাত্রা সমান হয়। অন্য কথায়, আমরা শুধুমাত্র সাদৃশ্যপূর্ণ শারীরিক পরিমাণগুলো যোগ বা বিয়োগ করতে পারি। তাই, গতি এবং বল একে অপরের সাথে যোগ করা যায় না, অথবা বৈদ্যুতিক কারেন্টকে তাপমাত্রা থেকে বিয়োগ করা যায় না। এই সহজ নীতি, যা সমীকরণে মাত্রার সামঞ্জস্যতা বা হোমোজিনিটির নীতি নামে পরিচিত, সমীকরণের সঠিকতা পরীক্ষা করার জন্য অত্যন্ত উপকারী। যদি সমীকরণের সমস্ত পদ একই মাত্রার না হয়, তবে সমীকরণটি ভুল। অতএব, যদি আমরা কোনো বস্তুর দৈর্ঘ্য (অথবা দূরত্ব) বের করার জন্য একটি প্রকাশনা তৈরি করি, তবে মূল গাণিতিক সম্পর্কের মধ্যে যে কোনো চিহ্ন থাকতে পারে, যখন সমস্ত পৃথক মাত্রাগুলি সরলীকৃত হয়, অবশিষ্ট মাত্রা অবশ্যই দৈর্ঘ্যের হতে হবে। তেমনি, যদি আমরা গতি বা স্পিডের সমীকরণ বের করি, তবে সমীকরণের উভয় পাশে, যখন সরলীকৃত হয়, তার মাত্রা দৈর্ঘ্য/সময় বা [L T⁻¹] হতে হবে।

মাত্রিক সামঞ্জস্য সাধারণত সমীকরণের সঙ্গতিপূর্ণতা পরীক্ষা করার জন্য একটি প্রাথমিক পরীক্ষা হিসেবে ব্যবহার করা হয়, যখন সমীকরণের সঠিকতা নিয়ে কিছু সন্দেহ থাকে। তবে, মাত্রিক সামঞ্জস্যতা সঠিক সমীকরণের গ্যারান্টি প্রদান করে না। এটি একমাত্র আংশিকভাবে মাত্রাহীন পরিমাণ বা ফাংশনের ক্ষেত্রে সন্দেহজনক। বিশেষ ফাংশনগুলির আর্গুমেন্ট, যেমন ত্রিকোণমিতিক, লগারিদমিক এবং এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনগুলির আর্গুমেন্টগুলি অবশ্যই মাত্রাহীন হতে হবে। একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা, সাদৃশ্যপূর্ণ শারীরিক পরিমাণের অনুপাত, যেমন কোণ (দৈর্ঘ্য/দৈর্ঘ্য), প্রতিসরণ সূচক (শূন্যে আলো গতির অনুপাত/মাধ্যমে আলো গতির অনুপাত) ইত্যাদি, কোনো মাত্রা নেই।

এখন আমরা একটি সমীকরণের মাত্রিক সামঞ্জস্য বা হোমোজিনিটি পরীক্ষা করতে পারি:

$$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$

এটি একটি কণার বা বস্তুর দূরত্ব x যাচাই করে যা সময় t তে x0 অবস্থান থেকে শুরু হয় এবং সময় t = 0 এ প্রাথমিক গতি v0 থাকে এবং গতির পথে একরকম ত্বরণ a থাকে।
প্রতিটি পদটির মাত্রা লিখে দেখা যেতে পারে:

$$[x] = [L] [x_0] = [L] [v_0 t] = [L T^{-1}] [T] = [L] [\frac{1}{2} a t^2] = [L T^{-2}] [T^2] = [L]$$

যেহেতু সমীকরণের ডানপাশের প্রতিটি পদ একই মাত্রার, অর্থাৎ দৈর্ঘ্যের মাত্রা, যা বামপাশের মাত্রার সমান, সুতরাং এই সমীকরণটি মাত্রিকভাবে সঠিক।

এটা লক্ষ্য করা যেতে পারে যে, মাত্রিক সামঞ্জস্যতার পরীক্ষা আমাদের আর কিছু বলছে না, কিন্তু এককগুলির সামঞ্জস্যতার পরীক্ষা যেমনটা আমরা জানি, এটি সঠিক না হলেও একক পরিমাপের পরিবর্তন বা রূপান্তরের বিষয়ে চিন্তা করতে হয় না। এটি মনে রাখা উচিত যে, যদি কোনো সমীকরণ এই সামঞ্জস্যতা পরীক্ষা ব্যর্থ করে, তবে এটি ভুল প্রমাণিত হয়, কিন্তু যদি এটি পাস করে, তবে এটি সঠিক প্রমাণিত হয় না। অতএব, একটি মাত্রিকভাবে সঠিক সমীকরণ অবশ্যই সঠিক সমীকরণ হতে হবে না, তবে একটি মাত্রিকভাবে ভুল (ভুল) বা অসম্পূর্ণ সমীকরণ অবশ্যই ভুল হবে।

উদাহরণ ১.৩
ধরা যাক একটি সমীকরণ

$$\frac{1}{2} m v^2 = m g h$$

যেখানে m হল বস্তুর ভর, v তার গতি, g হলো মাধ্যাকর্ষণ ত্বরণ এবং h হল উচ্চতা। এই সমীকরণটি মাত্রিকভাবে সঠিক কিনা পরীক্ষা করুন।
উত্তর
এলএইচএসের মাত্রা:

$$[M] [L T^{-1}]^2 = [M] [L^2 T^{-2}] = [M L^2 T^{-2}]$$

আরএইচএসের মাত্রা:

$$[M] [L T^{-2}] [L] = [M] [L^2 T^{-2}] = [M L^2 T^{-2}]$$

এলএইচএস এবং আরএইচএসের মাত্রা একই এবং তাই সমীকরণটি মাত্রিকভাবে সঠিক।

উদাহরণ ১.৪
এনআই ইউনিটে শক্তির একক হল জুল = কেজি মিটার² সেকেন্ড⁻²; গতি v এর একক হল মিটার সেকেন্ড⁻¹ এবং ত্বরণ a এর একক হল মিটার সেকেন্ড⁻²। নিচের কোনটি মাত্রিক যুক্তি দ্বারা গতির গতিশক্তি (K) এর সূত্র হিসেবে বাতিল করা যাবে? (m বস্তুটির ভর হিসেবে চিহ্নিত)।
(ক) $K = m^2 v^3$
(খ) $K = \frac{1}{2} m v^2$
(গ) $K = ma$
(ঘ) $K = \frac{3}{16} m v^2$
(ঙ) $K = \frac{1}{2} m v^2 + ma$
উত্তর
প্রতিটি সঠিক সূত্র বা সমীকরণে উভয় পাশে একই মাত্রা থাকতে হবে। এছাড়াও, শুধুমাত্র একে অপরের সাদৃশ্যপূর্ণ শারীরিক পরিমাণগুলিকে যোগ বা বিয়োগ করা যেতে পারে। সূত্রের ডানপাশের মাত্রাগুলি হবে:
(ক) [M² L³ T⁻³], (খ) [M L² T⁻²], (ঘ) [M L² T⁻²], (গ) [M L T⁻²]
(ঙ) ডানপাশের পরিমাণের সঠিক মাত্রা নেই যেহেতু দুটি সাদৃশ্যহীন পরিমাণ যোগ করা হয়েছে। যেহেতু গতির গতিশক্তির মাত্রা [M L² T⁻²], (ক), (গ) এবং (ঙ) সূত্রগুলি বাতিল করা যায়। লক্ষ্য করুন যে, মাত্রিক যুক্তি কেবল (খ) এবং (ঘ) এর মধ্যে কোনটি সঠিক তা বলতে পারবে না। এজন্য বাস্তব সংজ্ঞা অনুযায়ী কাইনেটিক এনার্জির সূত্র ব্যবহার করতে হবে (চক্র ৫)। সঠিক সূত্র হল (খ)।

১.৬.২ শারীরিক পরিমাণগুলির মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ
মাত্রিক পদ্ধতি কখনও কখনও শারীরিক পরিমাণগুলির মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হতে পারে। এর জন্য, আমাদের শারীরিক পরিমাণটির অন্য পরিমাণগুলির ওপর নির্ভরশীলতা জানতে হবে (তিনটি শারীরিক পরিমাণ বা সোজা স্বাধীন ভেরিয়েবল পর্যন্ত) এবং এটি একটি গুণন পদ্ধতিতে নির্ভরশীল হিসেবে বিবেচনা করতে হবে। আসুন একটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ ১.৫
ধরা যাক একটি সাধারণ পেনডুলাম, যার একটি বোব (গোলক) একটি দড়ির সাথে সংযুক্ত, যা মহাকর্ষ বলের প্রভাবে দুলতে থাকে। ধরুন, সাধারণ পেনডুলামের কম্পনের সময়কাল এর দৈর্ঘ্য (l), বোবের ভর (m) এবং মাধ্যাকর্ষণ ত্বরণ (g) এর উপর নির্ভরশীল। মাত্রিক পদ্ধতি ব্যবহার করে এর সময়কাল (T) এর অভিব্যক্তি নির্ধারণ করুন।

উত্তর
সময়কাল T এর দৈর্ঘ্য l, g এবং m এর উপর নির্ভরশীলতা গুণনের মাধ্যমে লেখা যেতে পারে:

$$T = k l^x g^y m^z$$

যেখানে k হল মাত্রাহীন ধ্রুবক এবং x, y, z হল এক্সপোনেন্ট।

উপস্থিতির উভয় পাশে মাত্রা নিয়ে আমরা পাই:

$$[L M T^{-2}] = [L]^x [L T^{-2}]^y [M]^z$$

এটি হবে:

$$L^{x+y} T^{-2y} M^z$$

এখন, উভয় পাশের মাত্রা সমান হতে হবে, সুতরাং:

$$x + y = 0; -2y = 1; z = 0$$

অতএব,

$$x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{2}, z = 0$$

এখন,

$$T = k l^{\frac{1}{2}} g^{-\frac{1}{2}}$$

অথবা,

$$T = k \sqrt{\frac{l}{g}}$$

এটি লক্ষ্য করা উচিত যে, মাত্রিক পদ্ধতির মাধ্যমে ধ্রুবক k এর মান নির্ধারণ করা যায় না। এখানে, যদি সূত্রের ডান পাশে কোনো সংখ্যা গুণ হয়, তবে এটি তার মাত্রাকে প্রভাবিত করে না।
প্রকৃতপক্ষে, k = 2π হওয়ায়:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

মাত্রিক বিশ্লেষণ শারীরিক পরিমাণগুলির মধ্যে পারস্পরিক নির্ভরশীল সম্পর্ক নির্ধারণে খুবই সহায়ক। তবে, মাত্রাহীন ধ্রুবকগুলি এই পদ্ধতিতে পাওয়া যায় না। মাত্রিক পদ্ধতি শুধুমাত্র মাত্রিক সঙ্গতি পরীক্ষা করতে পারে, তবে কোনো সমীকরণে শারীরিক পরিমাণগুলির সঠিক সম্পর্ক নির্ধারণ করতে পারে না। এটি একই মাত্রা বিশিষ্ট শারীরিক পরিমাণগুলির মধ্যে পার্থক্য করতে পারে না।

এই অধ্যায়ের শেষে অনেক অনুশীলন আপনাকে মাত্রিক বিশ্লেষণে দক্ষতা অর্জনে সহায়ক হবে।

সারাংশ

১. পদার্থবিদ্যা একটি পরিমাণগত বিজ্ঞান, যা শারীরিক পরিমাণগুলির পরিমাপের উপর ভিত্তি করে। কিছু শারীরিক পরিমাণকে মৌলিক বা ভিত্তি পরিমাণ হিসেবে নির্বাচিত করা হয়েছে (যেমন দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, বৈদ্যুতিক ধারা, তাপগতির তাপমাত্রা, পদার্থের পরিমাণ, এবং আলোকমাত্রা)।

২. প্রতিটি ভিত্তি পরিমাণ একটি নির্দিষ্ট মৌলিক, মনোনীত কিন্তু সঠিকভাবে মানকৃত রেফারেন্স মানের দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, যা ইউনিট নামে পরিচিত (যেমন মিটার, কিলোগ্রাম, সেকেন্ড, অ্যাম্পিয়ার, কেলভিন, মোল এবং ক্যান্ডেলা)। মৌলিক বা ভিত্তি পরিমাণগুলির জন্য ইউনিটগুলোকে মৌলিক বা ভিত্তি ইউনিট বলা হয়।

৩. অন্যান্য শারীরিক পরিমাণগুলি, যা ভিত্তি পরিমাণগুলি থেকে উদ্ভূত হয়, সেগুলি ভিত্তি ইউনিটগুলির একটি সংমিশ্রণ হিসেবে প্রকাশিত হতে পারে এবং সেগুলিকে উত্পন্ন ইউনিট বলা হয়। একটি পূর্ণাঙ্গ ইউনিট সেট, মৌলিক এবং উত্পন্ন উভয়ই, একটি ইউনিট সিস্টেম নামে পরিচিত।

৪. সাতটি ভিত্তি ইউনিটের ওপর ভিত্তি করে আন্তর্জাতিক ইউনিট সিস্টেম (SI) বর্তমানে আন্তর্জাতিকভাবে গৃহীত ইউনিট সিস্টেম এবং বিশ্বব্যাপী ব্যবহৃত হয়।

৫. SI ইউনিটগুলি সমস্ত শারীরিক পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত হয়, উভয় ভিত্তি পরিমাণ এবং তাদের থেকে প্রাপ্ত উত্পন্ন পরিমাণগুলির জন্য। কিছু উদ্ভূত ইউনিট SI ইউনিট দ্বারা বিশেষ নাম দিয়ে প্রকাশ করা হয় (যেমন জুল, নিউটন, ওয়াট, ইত্যাদি)।

৬. SI ইউনিটগুলির ভালভাবে সংজ্ঞায়িত এবং আন্তর্জাতিকভাবে গৃহীত ইউনিট প্রতীক রয়েছে (যেমন m মিটার, kg কিলোগ্রাম, s সেকেন্ড, A অ্যাম্পিয়ার, N নিউটন ইত্যাদি)।

৭. শারীরিক পরিমাপ সাধারণত ছোট এবং বড় পরিমাণের জন্য বৈজ্ঞানিক নোটেশন ব্যবহার করে, যা ১০ এর শক্তি ব্যবহার করে। বৈজ্ঞানিক নোটেশন এবং প্রিফিক্সগুলি পরিমাপ নোটেশন এবং গাণিতিক গণনা সরল করতে ব্যবহৃত হয়, সংখ্যার যথার্থতা নির্দেশ করতে।

৮. শারীরিক পরিমাণ এবং SI ইউনিটগুলির জন্য মানক প্রতীক এবং কিছু অন্যান্য ইউনিট এবং SI প্রিফিক্সগুলি ব্যবহার করার জন্য কিছু সাধারণ নিয়ম এবং নির্দেশিকা অনুসরণ করতে হবে, যাতে শারীরিক পরিমাণ এবং পরিমাপগুলি সঠিকভাবে প্রকাশিত হয়।

৯. যে কোনো শারীরিক পরিমাণ গণনা করার সময়, সম্পর্কের মধ্যে যুক্ত হওয়া উত্পন্ন পরিমাণগুলির ইউনিটগুলোকে গাণিতিক পরিমাণ হিসেবে গণ্য করা হয় যতক্ষণ না কাঙ্খিত ইউনিট পাওয়া যায়।

১০. পরিমাপিত এবং গণনা করা পরিমাণগুলিতে শুধুমাত্র সঠিক উল্লেখযোগ্য অঙ্কগুলি রাখা উচিত। উল্লেখযোগ্য অঙ্কের সংখ্যা নির্ধারণের জন্য নিয়মাবলী, তাদের সাথে গাণিতিক অপারেশন করা এবং "রাউন্ডিং অফ" করার জন্য অনিশ্চিত অঙ্কগুলি অনুসরণ করা উচিত।

১১. ভিত্তি পরিমাণগুলির মাত্রা এবং এই মাত্রাগুলির সংমিশ্রণ শারীরিক পরিমাণগুলির প্রকৃতি বর্ণনা করে। মাত্রিক বিশ্লেষণ সমীকরণের মাত্রিক সঙ্গতি পরীক্ষা করতে, শারীরিক পরিমাণগুলির মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ করতে ইত্যাদি ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি মাত্রিক সঙ্গত সমীকরণ আসল (সঠিক) সমীকরণ না হতে পারে, তবে একটি মাত্রিক ভুল বা অসঙ্গত সমীকরণ ভুল হতে হবে।

---

অনুশীলন

নোট: সংখ্যার উল্লেখযোগ্য অঙ্কের প্রতি মনোযোগ দিন।

১.১ ফাঁকা স্থান পূর্ণ করুন:

(ক) ১ সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের একটি ঘনকটির আয়তন হলো ..... মি³
(খ) ২ সেন্টিমিটার ব্যাস এবং ১০ সেন্টিমিটার উচ্চতার একটি কঠিন সিলিন্ডারের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হলো ...(মিমি)²
(গ) ১৮ কিমি/ঘণ্টা গতিতে চলন্ত একটি যান ১ সেকেন্ডে .... মিটার অতিক্রম করে
(ঘ) সীসার আপেক্ষিক ঘনত্ব ১১.৩। এর ঘনত্ব হলো .... গ্রাম/সেন্টিমিটার³ অথবা .... কিলোগ্রাম/মিটার³

১.২ ফাঁকা স্থান পূর্ণ করুন সঠিক একক রূপান্তরের মাধ্যমে:

(ক) ১ কিলোগ্রাম মিটার²/সেকেন্ড² = .... গ্রাম সেন্টিমিটার²/সেকেন্ড²
(খ) ১ মিটার = ..... আলোকবর্ষ
(গ) ৩.০ মিটার/সেকেন্ড² = .... কিমি/ঘণ্টা²
(ঘ) G = ৬.৬৭ × ১০⁻¹¹ নিউটন মিটার² (কিলোগ্রাম)⁻² = .... (সেন্টিমিটার)³ সেকেন্ড⁻² গ্রাম⁻¹

১.৩ একটি ক্যালরি একটি তাপের একক (গতিশীল শক্তি) এবং এটি প্রায় ৪.২ জুল সমান, যেখানে ১ জুল = ১ কিলোগ্রাম মিটার²/সেকেন্ড²। ধরুন আমরা এমন একটি একক সিস্টেম ব্যবহার করি যেখানে ভরের একক α কিলোগ্রাম, দৈর্ঘ্যের একক β মিটার এবং সময়ের একক γ সেকেন্ড। দেখান যে একটি ক্যালরির আয়তন ৪.২ α⁻¹ β⁻² γ² এই নতুন এককের মাধ্যমে।

১.৪ এই বিবৃতিটি পরিষ্কারভাবে ব্যাখ্যা করুন: “একটি মাত্রিক পরিমাণকে ‘বড়’ বা ‘ছোট’ বলা মানে কিছু নয় যতক্ষণ না একটি তুলনা করার মানদণ্ড নির্ধারণ করা হয়।” এর আলোকে, নিচের বিবৃতিগুলির সংশোধন করুন যেখানে প্রয়োজন: (ক) পারমাণবিক গঠনগুলি খুব ছোট বস্তু
(খ) একটি জেট প্লেন খুব দ্রুত গতিতে চলে
(গ) বৃহস্পতি গ্রহের ভর খুব বড়
(ঘ) এই রুমের বায়ুতে অনেক মলিকিউল রয়েছে
(ঙ) একটি প্রোটন একটি ইলেকট্রনের চেয়ে অনেক বেশি ভরযুক্ত
(চ) শব্দের গতি আলোর গতির চেয়ে অনেক কম।

১.৫ একটি নতুন দৈর্ঘ্যের একক নির্বাচিত হয়েছে যাতে শূন্যে আলোর গতির মান একক হয়। যদি আলোর সূর্য থেকে পৃথিবী পর্যন্ত পৌঁছাতে ৮ মিনিট ২০ সেকেন্ড সময় নেয়, তবে এই নতুন এককে সূর্য এবং পৃথিবীর মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

১.৬ নিম্নলিখিত যন্ত্রগুলির মধ্যে কোনটি দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য সবচেয়ে সঠিক যন্ত্র: (ক) একটি ভার্নিয়ার ক্যালিপার্স যার স্লাইডিং স্কেলে ২০টি ভাগ আছে
(খ) একটি স্ক্রু গেজ যার পিচ ১ মিমি এবং বৃত্তাকার স্কেলে ১০০টি ভাগ আছে
(গ) একটি অপটিক্যাল যন্ত্র যা আলোর এক তরঙ্গদৈর্ঘ্যের মধ্যে দৈর্ঘ্য পরিমাপ করতে পারে?

১.৭ একটি ছাত্র একটি মানব চুলের পুরুত্ব একটি মাইক্রোস্কোপের মাধ্যমে পরিমাপ করে, যার ম্যাগনিফিকেশন ১০০। সে ২০টি পর্যবেক্ষণ করেছে এবং দেখতে পায় যে মাইক্রোস্কোপের ক্ষেত্রের গড় প্রস্থ ৩.৫ মিমি। চুলের পুরুত্বের আনুমানিক মান কী হবে?

১.৮ উত্তর দিন:

(ক) আপনাকে একটি থ্রেড এবং একটি মিটার স্কেল দেওয়া হয়েছে। আপনি কীভাবে থ্রেডের ব্যাস পরিমাপ করবেন?
(খ) একটি স্ক্রু গেজের পিচ ১.০ মিমি এবং বৃত্তাকার স্কেলে ২০০টি ভাগ রয়েছে। আপনি কি মনে করেন এটি স্ক্রু গেজের সঠিকতা অনন্তকালের জন্য বাড়ানো সম্ভব হবে?
(গ) একটি পাতলা ব্রাস রডের গড় ব্যাস ভার্নিয়ার ক্যালিপার্স দ্বারা পরিমাপ করা হচ্ছে। কেন ১০০টি পরিমাপের একটি সেট ৫টি পরিমাপের চেয়ে একটি নির্ভরযোগ্য অনুমান প্রদান করবে?

১.৯ একটি বাড়ির ছবি একটি ৩৫ মিমি স্লাইডে ১.৭৫ সেমি² এলাকা দখল করে। স্লাইডটি একটি পর্দায় প্রক্সণিত করা হয়েছে, এবং বাড়ির ক্ষেত্রফল ১.৫৫ মিটার²। প্রক্সণ-স্ক্রীন ব্যবস্থার সোজা বর্ধন কত?

১.১০ নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলিতে উল্লেখযোগ্য অঙ্কের সংখ্যা বলুন:

(ক) ০.০০৭ মিটার²
(খ) ২.৬৪ × ১০²⁴ কিলোগ্রাম
(গ) ০.২৩৭০ গ্রাম/সেন্টিমিটার³
(ঘ) ৬.৩২০ জুল
(ঙ) ৬.০৩২ নিউটন/মিটার²
(চ) ০.০০০৬০৩২ মিটার²

১.১১ একটি আয়তক্ষেত্রাকার ধাতু পত্রের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং পুরুত্ব যথাক্রমে ৪.২৩৪ মিটার, ১.০০৫ মিটার, এবং ২.০১ সেমি। সঠিক উল্লেখযোগ্য অঙ্কের সাথে পত্রটির এলাকা এবং আয়তন দিন।

১.১২ একটি বক্সের ভর একটি আংটি মাপা দিয়ে ২.৩০ কিলোগ্রাম পরিমাপ করা হয়। বক্সে ২০.১৫ গ্রাম এবং ২০.১৭ গ্রাম দুইটি সোনার টুকরো যোগ করা হয়েছে। (ক) বক্সের মোট ভর কত, (খ) সোনার টুকরোগুলির ভর পার্থক্য কত সঠিক উল্লেখযোগ্য অঙ্কে?

১.১৩ পদার্থবিদ্যায় একটি বিখ্যাত সম্পর্ক "গতি ভর" m কে "বিশ্রাম ভর" mo এর সাথে সম্পর্কিত করে, যা তার গতি v এবং আলোর গতি c দ্বারা প্রকাশিত। একটি ছেলে এই সম্পর্কটি প্রায় সঠিকভাবে মনে রাখে কিন্তু c-এর অবস্থান ভুলে যায়। সে লেখে: ( ) m m 1 v 0 = − 2 1/2। কোথায় হারানো c রাখতে হবে?

১.১৪ দৈনিক আণবিক মাপের একক হিসেবে একটি নতুন একক আণস্ট্রম (Å) ব্যবহৃত হয়, যা 1 Å = 10⁻¹⁰ মিটার। একটি হাইড্রোজেন পরমাণুর আকার প্রায় ০.৫ Å। একটি মোল হাইড্রোজেন পরমাণুর মোট আণবিক আয়তন মিটার³ কী হবে?

১.১৫ একটি আদর্শ গ্যাসের এক মোল ২২.৪ লিটার (মোলার ভলিউম) দখল করে, স্ট্যান্ডার্ড তাপমাত্রা ও চাপের অধীনে। একটি মোল হাইড্রোজেনের আণবিক আয়তনের সাথে মোলার ভলিউমের অনুপাত কী? (হাইড্রোজেন অণুর আকার প্রায় ১ Å)। এই অনুপাত এত বড় কেন?

১.১৬ এই সাধারণ পর্যবেক্ষণটি পরিষ্কারভাবে ব্যাখ্যা করুন: যদি আপনি একটি দ্রুত চলন্ত ট্রেনের জানালা দিয়ে বাইরে তাকান, তাহলে কাছাকাছি গাছপালা, বাড়ি ইত্যাদি বিপরীত দিকের দিকে দ্রুত চলে যেতে মনে হয়, কিন্তু দূরবর্তী বস্তুগুলি (পাহাড়ের চূড়া, চাঁদ, তারা ইত্যাদি) স্থির মনে হয়। (এমনকি, আপনি জানেন যে আপনি চলতে আছেন, এই দূরবর্তী বস্তুগুলি আপনার সাথে চলে যাচ্ছে বলে মনে হয়)।

**১.১৭ সূর্য একটি গরম প্লাজমা (আয়নিত বস্তু) যার অভ্যন্তরীণ কোরের তাপমাত্রা ১০⁷ K-এর চেয়ে বেশি, এবং এর বাইরের পৃষ্ঠের তাপমাত্রা প্রায় ৬০০০ K। এই উচ্চ তাপমাত্রায়, কোনো পদার্থই কঠিন বা তরল অবস্থায় থাকে না। সূর্যের ভর ঘনত্ব আপনি কীভাবে অনুমান করবেন, কঠিন ও তরল পদার্থের ঘনত্বের রেঞ্জে না গ্যাসের রেঞ্জে? সূর্যের ভর = ২.০ × ১০³⁰ কিলোগ্রাম, সূর্যের রেডিয়াস = ৭.০ × ১০⁸ মিটার।”